Решение задач. Лемма о «дважды биссектрисе» треугольника

Методический семинар в помощь учителям математики

Лемма о «дважды биссектрисе» треугольника

Любителям геометрии известно достаточно много фактов «из жизни» биссектрисы треугольника.Сюда следует отнести:свойство биссектрисы, выражающееся равенством (рис 1).То,что каждая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла.Две знаменитые формулы:l²_a=bc-xy и l_a= (см.рис.1) И даже несколько изысканную,но также весьма полезную формулу l_{a =}

Все это так.Биссектриса-один из главных отрезков в геометрии треугольника.

Мы же сейчас поведем разговор о менее популярном,но чрезвычайно важном,необходимом свойстве биссектрисы.О том, что биссектриса угла треугольника делит пополам угол между радиусом описанной окружности и высотой,проведенной из вершины того же угла.Иными словами,l_a (биссектриса угла А)является биссектрисой угла ОАН₁(рис.2)

После доказательства этого свойства (назовем его леммой о «дважды биссектрисе») постараемся аргументированно показать,насколько оно полезно при решении геометрических задач.

Лемма. Биссектриса l_а треугольника АВС является также биссектрисой угла ОАН₁ , где О- центр окружности,описанной около треугольника АВС,АН₁ -его высота (рис.3)

Доказательство.Угол АОС является центральным, .Но и <���������_�������������������������_������������������������������������_{�����}��������������������������������������������������_{������}������������������������_��������������������������������������������������������������

����1.Дан треугольник АВС.Серединный перпендикуля к стороне ВС и продолжение биссектрисы l_a пересекаются в точке Q (рис 4) Докажите что точка Q лежит на окружности с центромО,описанной около треугольника АВС.

Свойство серединного перпендикуляра и биссектрисы.Продолжение биссектрисы пересекается с серединым перпендикуляром в точке,лежащей на окружности описанной около треугольника.

Доказательство.Проведем высоту АН₁ и радиус ОА.- как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых (АН₁ OQ) Следовательно,треугольник АОQ-равнобедренный,причем ОQ=ОА=R_окр.А это и означает,что точка Q принадлежит окружности,описанной около треугольника АВС.