План урока 'Наибольшее и наименьшее значение функции'

Учебный элемент, цель, время

Учебный материал с указанием заданий

Рекомендации по выполнению

УЭ-0

Организационный момент

Цель: целеполагание урока 5мин

Объявление темы и цели урока. Определение задач:

О каких свойствах функции вам уже известно? В течение 1 мин вспомните и запишите в тетради все, что помните и знаете. Какие из этих свойств вы не можете определять алгебраическим способом?
Правильно, сегодня мы научимся находить возрастание и убывание, максимум и минимум функции, наибольшее и наименьшее значение функции?

Откройте тетради, запишите тему, перечислите задачи урока.

УЭ-1

Входной контроль

40 мин

Цель: повторить и обобщить изученный материал, развивать логическое мышление. Диагностировать уровень подготовленности на начальном этапе .

закрепить правила нахождения производной.. Повторение теоретического материала

«Вы уже накопили некоторый опыт нахождения производной. И сегодня мы посмотрим, чему же вы научились. Повторим теоретический материал».

Указания: Вспомни основные правила нахождения производной Для этого прочитай текст электронного учебника гл.5.

закрепить умения применять правила вычисления производной суммы, произведения, частного и более сложной

Электронный учебный модуль

1. Учитель предлагает ответить на вопросы презентации ,проверить свои ответы при помощи электронного информационного материала.

На схеме видно как ведет себя график функции и график ее производной. В момент когда график функции убывает, график производной функции меньше нуля, в момент когда график функции возрастает - производная больше нуля, в момент когда график функции находится в своем минимуме или максимуме (эти точки называются экстремумы - красные точки на верхнем графике) - производная равна нулю (красные точки на нижнем графике). Обратите внимание, что точка минимума графика функции соответствует точке в которой производная равна нулю, при условии, что график производной функции возрастает, и наоборот точка максимума графика функции соответствует точке в которой производная равна нулю, при условии, что график производной функции убывает.

Задания выполняйте в тетради. Осуществите самопроверку по ответам. Студенты выписывают основные определения и формулы в тетрадь, а затем осуществляют самопроверку своих записей, используя электронный информационный материал.

УЭ2 Информационный 10 мин

Цель: формировать умение работать самостоятельно с различными источниками.

Ознакомьтесь с информационным материалом по данной теме. Используя полученные знания, решите задания.

Когнитивные мотивы обучения.

Постановка цели.

1

По графику производной схематически опишите свойства функции

2 Постройте графики производной в программе Excel

Опишите свойства функции

3 На протяжении всей своей эволюции человек, совершая те или иные деяния, стремился вести себя таким образом, чтобы результат, достигаемый как следствие некоторого поступка, оказался в определенном смысле наилучшим. Двигаясь из одного пункта в другой, он стремился найти кратчайший среди возможных путь. Строя жилище, он искал такую его геометрию, которая при наименьшем расходе топлива, обеспечивала приемлемо комфортные условия существования. Можно легко продолжить перечень подобных примеров.

Решение такого типа задач сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений, когда из множества решений задачи нужно выбрать оптимальное, соответственно наибольшее или наименьшее. Одним из способов решения является сведение задачи к нахождению наибольшего и наименьшего значения функции на данном промежутке.

Что означает наибольшее и наименьшее значение?

Дайте определение наиб. наим. значения

Как вы думаете :

Совпадают ли точки max и min с наибольшим и наименьшим значением функции?

Назовите точки max и min. Дайте определение EXTR

Определите по чертежу наибольшее и наименьшее значения функции, в каких точках они достигаются?

Ответы: Наибольшее значение равно 5, достигается в точке х=-2; наименьшее значение равно

-3, достигается в точке в точке х=4.

Всегда ли можно определить наибольшее (наименьшее) значение функции"? Нет, не всегда. Иногда границы промежутка X совпадают с границами области определения функции или интервал X бесконечен.

Правило нахождения наибольшего и наименьшего значения функции f(x) на отрезке [a; b].

1. Находим и проверяем, содержится ли в ней весь отрезок [a; b].

2. Определяем все стационарные точки, попадающие в отрезок [a; b]. Для этого, , приравниваем ее к нулю, решаем полученное уравнение и выбираем подходящие корни.
   
   Если стационарных точек нет или ни одна из них не попадает в отрезок, то переходим к следующему пункту.

3. Вычисляем значения функции в отобранных стационарных точках (если таковые имеются), а также при x = a и x = b.

4. Из полученных значений функции выбираем наибольшее и наименьшее - они и будут искомыми.

Разберем алгоритм на примерах.

«Найдите наименьшее значение функции f(x)= 3x²-12x+1 на промежутке [1;4].»

Решение:

f'(x)=6x-12

f'(x)=0, 6x-12=0, 6х=12, 6х=2, [1; 4]

f(1)=-8, f(2)=-11, f(4)=1.

наименьшее значение равно -11.

Ответ: -11

Попробуйте освоить новую тему самостоятельно. Откройте электронный учебник,изучите:

Глава 6

На доске-определения

Создайте конспект

УЭ-3

Проблемный модуль

15мин

Каким способом можно решить предложенную задачу?

Задача. Буровая вышка расположена в поле в 9км от ближайшей точки шоссе. С буровой надо направить курьера в пункт, расположенный по шоссе в 15 км от упомянутой точки (считаем шоссе прямолинейным). Скорость курьера на велосипеде по полю 8 км/ч, а по шоссе 10 км/ч. К какой точке шоссе ему надо ехать, чтобы в кратчайшее время достичь пункта?

Методика работы с задачей. (Идет анализ текста задачи и ее перевод в язык функций)

Предлагаю, проанализировать условие задачи:

• На каком расстоянии находится буровая вышка от ближайшей точки шоссе?

• На каком расстоянии находятся друг от друга ближайшая точка от буровой вышки и пункт, куда надо отправить курьера?

• Известно ли, к какой точке шоссе надо ехать, чтобы достичь нужный пункт в кратчайшее время?

Следующим этапом работы является составление мысленной модели задачи в виде схематического рисунка к задаче, и вводятся условные обозначения: Р - буровая вышка; В - населенный пункт, l - шоссе, РМВ - маршрут следования курьера.

Установите, какие величины будут постоянными, а какие - переменными?

Постоянные величины - РА, АВ, v_п, v_ш
Переменные величины - АМ, МВ, РМ
Исследуемая величина - время, за которое курьеру надо доехать до нужного пункта.

Чему равны постоянные величины: РА = 9 км, АВ = 15 км. v_п = 8 км/ч, v_ш = 10 км/ч

На этапе математического моделирования выбираем параметр (х), через который выражаем интересующую нас величину как t(x):

1. Пусть x - расстояние АМ, 0 <x< 15;

2. Знание, какой теоремы нам потребуется, чтобы из прямоугольного треугольника выразить РМ? (Теорема Пифагора). Из прямоугольного треугольника РАМ выражаем:

S₁ = РМ = =; S₂ = МВ = 15 - х;

3. Согласно условию получаем: путь S₁ (по полю), который курьер проходит со скоростью v = 8 км/ч, а путь S₂ (по шоссе) - со скоростью v = 10 км/ч.;
4. Вспомните формулу нахождения пути (расстояния) из курса физики и из этой формулы выразите время ( ). Значит курьер проезжает на велосипеде по полю путь S₁ за время t₁ =.; а на велосипеде по шоссе путь S₂ за время t₂ =; Тогда время, затраченное на путь S₁ и S₂,: t(x) = +

По условию задачи, средствами анализа ищем наименьшие значение функции на отрезке [0;15]. Выполняем решение задачи внутри математической модели, применяя умения решать уравнения, использовать формулы дифференцирования и находить критические точки и наибольшие или наименьшие значение функции на заданном промежутке.

1. Находим производную функции:

2. Находим критические точки t'(x) = 0;

25x² = 16 ^. (x² + 81),9x² = 16 ^. 81,
9x² = 1296,
x² = 1296 : 9,
x² = 144,
x₁ = 12,
x₂ = - 12Делаем вывод: точку x₂проверять не будем, т.к. она не принадлежит промежутку [0;15].

Находим значение функции в точках x = 0, x = 12, x = 15
t(15) ~ 2,9;
t(12) ~ 2,18функция t(x) достигает наименьшего значения в точке x = 12 15 - 12 = 3 кмКритическое осмысление полученного результата, удержание цели занятия и условия задачи позволяет поддерживать высокий уровень активности на протяжении всего занятия. Важным этапом, является интерпретации полученного решения и поиск практического применения.
В какую точку шоссе необходимо ехать, чтобы в кратчайшие время достичь пункта назначения? (Курьеру надо ехать в точку, удаленную на 3 км от населенного пункта и на 12 км от шоссе, чтобы в кратчайшее время достичь населенного пункта.)

Следующим этапом работы является составление мысленной модели задачи в виде схематического рисунка к задаче, и вводятся условные обозначения: Р - буровая вышка; В - населенный пункт, l - шоссе, РМВ - маршрут следования курьера.

2. Знание, какой теоремы нам потребуется, чтобы из прямоугольного треугольника выразить РМ? (Теорема Пифагора). Из прямоугольного треугольника РАМ выражаем:

S₁ = РМ = =; S₂ = МВ = 15 - х;

3. Согласно условию получаем: путь S₁ (по полю), который курьер проходит со скоростью v = 8 км/ч, а путь S₂ (по шоссе) - со скоростью v = 10 км/ч.;
4. Вспомните формулу нахождения пути (расстояния) из курса физики и из этой формулы выразите время ( ). Значит курьер проезжает на велосипеде по полю путь S₁ за время t₁ =.; а на велосипеде по шоссе путь S₂ за время t₂ =; Тогда время, затраченное на путь S₁ и S₂,: t(x) = +

По условию задачи, средствами анализа ищем наименьшие значение функции на отрезке [0;15]. Выполняем решение задачи внутри математической модели, применяя умения решать уравнения, использовать формулы дифференцирования и находить критические точки и наибольшие или наименьшие значение функции на заданном промежутке.

1. Находим производную функции:

2. Находим критические точки t'(x) = 0;

25x² = 16 ^. (x² + 81),
9x² = 16 ^. 81,
9x² = 1296,
x² = 1296 : 9,
x² = 144,
x₁ = 12,
x₂ = - 12

Делаем вывод:

• точку x₂проверять не будем, т.к. она не принадлежит промежутку [0;15].

Находим значение функции в точках x = 0, x = 12, x = 15;

;
t(15) ~ 2,9;
t(12) ~ 2,18

• функция t(x) достигает наименьшего значения в точке x = 12

15 - 12 = 3 км

Критическое осмысление полученного результата, удержание цели занятия и условия задачи позволяет поддерживать высокий уровень активности на протяжении всего занятия. Важным этапом, является интерпретации полученного решения и поиск практического применения.
В какую точку шоссе необходимо ехать, чтобы в кратчайшие время достичь пункта назначения? (Курьеру надо ехать в точку, удаленную на 3 км от населенного пункта и на 12 км от шоссе, чтобы в кратчайшее время достичь населенного пункта.)
Какое практическое значение имеет полученный результат?
Возможно, ли применить полученный опыт использования производной в повседневной жизни, в профессиональной деятельности? (Производная выступает как инструмент изучения интенсивности изменения некоторых экономических объектов (процессов); базовые законы теории производства и потребления, спроса и предложения оказываются прямыми следствиями математических теорем).

Какое практическое значение имеет полученный результат?
Возможно, ли применить полученный опыт использования производной в повседневной жизни, в профессиональной деятельности?

Создать чертеж

Решить задачу в минигруппах

Сдать решение от каждой группы

Получите эталон решения, сверьте решение, поставьте оценку в оценочный лист

Разобрать решение у доски

УЭ-4

Практический модуль

10 мин

Цель: формировать навыки решения сложных задач.

1. Закрепить применять производную для решения различных задач.

2. Научить защищать выполненную работу.

1 Найти наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции у= х³-3х²-45х+225 на отрезке [0;6]

Р е ш е н и е.

D(y)=R.

a)y' = 3x²-6x-45;

б)y' существует при всех х. Найдем точки критические, в которых у' =0. Имеем:

3x²-6x-45=0, х²-2х-15=0, х₁= -3, х₂=5. Отрезку [0;6] принадлежит лишь точка х=5.

в)вычислим значения функции в точках 0, 5, 6:

у(0)= 225, у(5)=50, у(6)=63.

О т в е т: max y(x) =у(0)=225; min y(x)=у(5)=50.

[0;6] [0;6]

2 Из проволоки длиной 20см надо сделать прямоугольник наибольшей площади. Найти его размеры.

Решение:

Обозначим одну сторону прямоугольника через х см, тогда вторая будет (10-х)см, площадь S(х)=(10-х)*х=10х-х²;

S^/(х)=10-2х; S^/(х)=0; х=5;

По условию задачи х (0;10)

Найдем знак производной на промежутке (0;5) и на промежутке (5;10 ). Производная меняет знак с "+" на "-". Отсюда: х=5 точка максимума, S(5)=25см² -наибольшее значение. Следовательно, одна сторона прямоугольника 5см, вторая 10-х=10-5=5см;

Используя полученные знания, решите задания.

Решают задачу пошагово вместе с учителем.

УЭ-4

Выходной контроль

10 мин

3. Цель: выявить уровень умения решать задачи по пройденной теме. Научить работать в группе.

Контроль за выполнением заданий. Дифференцированная помощь преподавателя обучающимся.

Выполнить задания в excel

Выполните действия

1 вариант

ответ

«Найдите наименьшее значение функции f(x)= 3x²-12x+1 на промежутке [1;4].»

Выполните работу, сдайте учителю на проверку.

Осуществите самопроверку по ответа.Оценки занесите в табель контроля.

УЭ-5

Подведение итогов занятия

Цель: 5 мин

1. Составить план -схему применения производной для нахождения экстремальных точек и наибольшего и наименьшего значения функции

2. Проведение рефлексии. Перед вами карточка с изображением горы. Если вы считаете, что хорошо потрудились на уроке, разобрались в методах применения производной к решению различных задач, то нарисуйте себя на вершине самой высокой горы. Если осталось что-то неясно, нарисуйте себя ниже.

2 Предлагается вопрос: Как понять утверждение: «Неважно сколько студент знает, но важно, чтобы у его знаний была положительная производная»? При обсуждении студенты приходят к выводу: это означает, если скорость приращения знаний у ученика будет положительной, то его знания возрастут.

3 Постановка домашнего задания по индивидуальным карточкам.

Отметьте свой уровень освоения материала урока